今回はオイラーの理論式から座屈応力を求める計算例題を紹介しましょう。

座屈とは長柱に大きな圧縮荷重が作用することで、長柱が歪んでしまう現象のことでした。

今回は座屈現象が起こる前に発生する、座屈応力の計算問題を取り扱っていきましょう。

 

この演習問題を解いていくためには、オイラーの理論式の知識が欠かせません。まだオイラーの理論式についてわからない方は、下の記事から復習をしてからトライしてみてください。

座屈とオイラーの式について!座屈応力と座屈荷重の計算方法

では早速問題を見ていきましょう。

 

演習問題1 :座屈応力を求める問題

長さ2.5[m]、断面寸法80[mm]×40[mm]で両端を固定した軟鋼性の柱の座屈応力をオイラーの理論式から求めなさい。縦弾性係数(ヤング率)を206[GPa]とします。

 

解答例

では早速解答例を見ていきましょう。

まず初めにオイラーの理論式から求められる座屈応力の公式はどんなものだったかを復習しましょう。

座屈応力の計算式

σ = n × π²E/λ²

(σ:座屈応力[MPa]、n:端末係数、E:縦弾性係数(ヤング率)[GPa]、λ:細長比(=l/k))

端末係数nとは、柱の座屈に影響する柱の支持方法を係数として扱ったものでした。両端を固定している場合の端末係数n=4ですので、nには4を代入して計算していきます。

 

公式にある細長比λを計算するために、断面二次半径kを求めます。断面二次半径とは断面二次モーメントIを断面積で割った値の平方根をとったものです。それでは計算していきましょう。

 

断面積A = bh、長方形断面の断面二次モーメントI = bh³/12

∴断面二次半径k = √(I/A) = √(bh³/12bh) = √(h²/12)

値は最後に代入するため、ここでは文字のままとします。

 

次に細長比λを求めます。オイラーの理論式における細長比はλ²で計算しますから、λ²を求めます。

細長比λ = l/k = l/{√(h²/12)}

∴λ² = 12l²/h²

 

では座屈応力を求めていきましょう。最小断面二次半径として計算をしますから、hには断面の短い方の40[mm]を代入して計算します。

座屈応力σ = n × π²E/λ² = n × π²E/(12l²/h²) = nπ²Eh²/12l²

= 4×π²×206×10³×40²/(12×2500²) = 173.5[MPa]

 

答え

座屈応力:173.5[MPa]




 

演習問題2:座屈応力(断面寸法を変えた場合)を求める問題

長さ2.5[m]、断面寸法100[mm]×50[mm]で両端を固定した軟鋼性の柱の座屈応力をオイラーの理論式から求めなさい。縦弾性係数(ヤング率)を206[GPa]とします。

 

解答例

演習問題1と同様の条件で、断面寸法だけ変えた座屈応力を求める問題です。この場合の座屈応力は演習問題1の時と比べてどうなるかも含めて計算をしていきましょう。

演習問題1で計算したものを、もう一度利用して答えを求めましょう。演習問題1と異なるのは、座屈応力を計算するときに代入するh(=50[mm])の値だけなので、そこだけ変えて計算します。

座屈応力σ = n × π²E/λ² = n × π²E/(12l²/h²) = nπ²Eh²/12l²

= 4×π²×206×10³×50²/(12×2500²) = 271.1[MPa]

 

答え

座屈応力:271.1[MPa]

 

演習問題1と演習問題2の答えを比較して、断面寸法がどのような座屈応力に影響するかを考察しましょう。

演習問題1では、長方形断面寸法が80[mm]×40[mm]で、その時の座屈応力が173.5[MPa]でした。それに対して演習問題2は、長方形断面寸法が100[mm]×50[mm]で、その時の座屈応力が271.1[MPa]です。

今回の問題では、座屈応力に変化を与える要因だったのは、最小二次半径で使う長方形断面の短い辺でしたので、40[mm]か50[mm]かの違いでこれだけの座屈応力の変化が生じたことになります。

 

さて、ここで応力とはどんなものだったかを考えてみます。応力の定義を考えるために、一番簡単な公式を確認してみましょう。

応力の公式

σ = P / A

(σ:応力、P:外力、A:断面積)

この公式から分かる通り、応力とは単位断面積あたりの外力に対しての抵抗力ということができます。よって応力が大きい=抵抗力が大きいということになります。さて、抵抗力は荷重に抵抗するための力でしたから、抵抗力が大きい=荷重が大きいと相対的にとらえる事ができます。

よって、応力が大きいということは、それだけ荷重も大きいととらえる事ができます。わかりやすくするために下の例を見てみましょう。

P=100[N]の時、A1=100[mm²]とA2=200[mm²]でのそれぞれの応力を計算せよ。

σ1=1[MPa]、σ2=0.5[MPa]

ここから分かる通り、断面積が大きいと応力は小さくなります。イメージでも分かると思いますが、断面積が大きい方が、材料は丈夫になります。よって上の問題では、応力が小さい=材料は丈夫と考えられます。

 

上の例から分かる通り、基本的に応力が小さい方が材料は丈夫と考えてください。したがってこの記事で紹介した演習問題では、演習問題1の断面である80[mm]×40[mm]の方が、演習問題2の100[mm]×50[mm]よりも座屈に対して丈夫であるということになります。

 

まとめ

今回は座屈応力を求める演習問題を紹介しました。座屈応力はオイラーの理論式から求めるということを覚えておいてくださいね。

また、長方形断面寸法と座屈応力の関係についても書きました。通常応力は断面積が大きくなるほど小さくなりますが、座屈応力は断面の大きさではなく細長比(断面がどれだけ細長いかを示す比)が影響を及ぼします。このこともなんとなく頭に入れておくとイメージがしやすくなるでしょう。

ぜひ今回の記事を参考にしながら、今後の勉強をしていってくださいね。

 

今回の記事は以上になります。最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

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