今回の記事では曲げモーメント図の書き方について勉強していきましょう。

曲げモーメント図とは、材料に働く曲げモーメントを図に表したものです。

英語ではB.M.D.(Bending Moment Diagram)と言います。

 

曲げモーメント図の書き方は、せん断力図の書き方を知っていると理解しやすくなります。

せん断力図とは、材料に働くせん断力を図式化したものです。

せん断力図に関しては、下の記事で詳しく解説していますので、まだ知らない場合は読んでおいてくださいね。

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では早速曲げモーメント図の書き方について紹介していきましょう。

 

 

曲げモーメント図の書き方!集中荷重1つの場合

最初は両端支持梁に集中荷重が一つ作用していた時の曲げモーメント図に関してみていきます。

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せん断力の求め方とせん断力図の書き方

せん断力図を書くときにもまず初めに支点反力から求めました。

せん断力図のときと同様に、最初に支点反力を計算していきましょう。

l1 = 400[mm]、l2 = 600[mm]として計算していきます。

 

RB = Wl1 / (l1 + l2)

= 1000×400 / (400+600)

400[N]

RA = W – RB

= 1000 – 400

= 600[N]

ここまでは高校物理の知識で解くことができますね。

 

これらの数値を図に書き入れると、以下のようになります。

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支点反力が求まったので、次にせん断力を求めていきます。

荷重点の左側のせん断力をF1、荷重点右側のせん断力をF2としましょう。

 

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F1 = +600[N]になります。

次に荷重点右側のせん断力F2を調べます。

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F2 = -400[N]と求めることができます。

荷重点左右のせん断力が求められましたので、これらをまとめてせん断力図にしましょう。

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曲げモーメントの計算方法と、曲げモーメント図の書き方

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次に曲げモーメントの計算をしましょう。

左側の支点反力の作用点をA、荷重点をC、右側の支点反力の作用点をBをして計算していきます。

l1 = 400[mm]や、荷重の大きさなどは最後に代入します

 

AC間の曲げモーメントは?(0≦x≦400)

x-x’の断面の荷重点Cの左側部材で、モーメントは下のようになります。

-RAx + MAC = 0

よって、MAC = RAx…(1)

x-x’の断面の右側部材では下のようになります。

-W(l1 – x) + RB(l – x) + MAC = 0

-Wl1 + Wx + RBl – RBx + MAC = 0

x(W – RB) – (Wl1 – RBl) + MAC = 0…(2)

 

梁の静止条件から力の総和とモーメントの総和はゼロです。

よって、W – RB = RA、Wl1 – RBl = 0…(3)

この式(3)を式(2)に代入します。

RAx + MAC = 0

よって、-MAC = RAx…(4)

 

式(1)と(4)から、MACの大きさは

MAC = RAx…(5)

RA = 600[N]ですので、これを代入すると、

MAC = 600x[N・mm]

 

これにより、AC間の曲げモーメントは比例定数が600の一次関数となります。

よってAC間の曲げモーメント図は以下のようになります。

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CB間の曲げモーメントは?(400≦x≦1000)

x-x'(仮想断面)の荷重点Cの右側部材で、モーメントは下の式のようになります。

+W(x – l1) – RAx + MCB = 0

+Wx – Wl1 – RAx + MCB = 0

x(W – RA) – Wl1 + MCB = 0…(6)

 

梁の静止条件から、

W – RA = RB、Wl1 = RBl…(7)

式(7)を式(6)に代入します。

RBx – RBl + MCB = 0

MCB = RB(l – x)…(8)

 

x-x’の右側部材で、

-MCB = RB(l – x)

式(8)と(9)からMCBの大きさは

MCB = RB(l – x)…(10)

l = 1,000[mm]、RB = 400[N]なので、これらを代入すると、

MAC = 400(1000 – x)

= 400000 – 400x[N・mm]

これを一次関数っぽく書き換えると、

MAC = -400x + 400000[N・mm]

 

CB間の曲げモーメント図は、傾き-400、切片4.0 × 10⁵の一次関数になります

しかしxはA点が0なのを注意しましょう。

これを図に書き入れると下のようになります。

 

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まとめ

今回は曲げモーメント図の書き方について紹介しました。

曲げモーメント図は大体、せん断力図と並べて書くのが普通です。

そのためせん断力図をしっかりマスターしておくことが重要になってきます。

 

また、曲げモーメント図のそれぞれのグラフの傾きは、せん断力の傾きと対応しています。

下の図を完成した図をもう一度おさらいしましょう。

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AC間のせん断力は600[N]でしたが、同じ区間での曲げモーメントは、

MAC = 600x[N・mm]でした。

 

また、CB間のせん断力は-400[N]でしたが、同じ区間での曲げモーメントは、

MAC = -400x + 400000[N・mm]

 

このように、せん断力と曲げモーメントには微分積分の関係にあります

これに関しては、違う記事で紹介します。

せん断力を微分すると、同じ区間の曲げモーメントの傾きになることを覚えておきましょう。

 

今回の記事は以上になります。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。